DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto (aunque cualquier definición dada esconde implícitamente paradojas lógicas o contradicciones).1 Por objeto entenderemos no sólo entes físicos, como mesas, sillas, etc., sino también entes abstractos, como son números, letras, etc. La relación de pertenencia entre los elementos y los conjuntos siempre es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece a un conjunto o no, siempre puede calificarse como verdadero o falso .Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).
RESEÑA HISTÓRICA DE LA TEORÍA DE LOS CONJUNTOS
George Cantor (1845-1918) fue un matemático alemán, fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX.
El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell o paradoja del barbero:
En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:
—En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!
El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz.
George Cantor (1845-1918) fue un matemático alemán, fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX.
El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell o paradoja del barbero:
En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:
—En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!
El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz.
Diagrama de Venn
Diagrama que representa conjuntos y muestra gráficamente donde se intersecan esos conjuntos. En él, cada conjunto está representado por la región dentro de una curva cerrada simple. Se nombra así en honor de Venn, un inglés que primero utilizó este tipo de diagrama.
Diagrama que representa conjuntos y muestra gráficamente donde se intersecan esos conjuntos. En él, cada conjunto está representado por la región dentro de una curva cerrada simple. Se nombra así en honor de Venn, un inglés que primero utilizó este tipo de diagrama.
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitario: Es el que tiene un único elemento
Conjunto Unitario: Es el que tiene un único elemento
Conjunto
Vacío: Es el que no posee
elementos. También se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por
los símbolos: vacío ó { }
B = vacío ó B = { } se lee: B es el conjunto vacío ó B es el conjunto nulo
B = vacío ó B = { } se lee: B es el conjunto vacío ó B es el conjunto nulo
Conjunto
Finito: Se
llama así al conjunto al cual podemos nombrar su último elemento
Ejemplo: D = {x/x es día de la semana}
Es finito porque sabemos cuáles son todos los días de la semana.
Ejemplo: D = {x/x es día de la semana}
Es finito porque sabemos cuáles son todos los días de la semana.
Conjunto Infinito: Se denomina así, ya que no podemos nombrar su último elemento.
Un ejemplo de conjunto infinito son las estrellas del cielo. Los conjuntos infinitos siempre deberán determinarse por comprensión; para el ejemplo:
B = {x/x son las estrellas del universo}
Conjunto Universo: Se llama así al conjunto conformado por los miembros o elementos de todos los elementos que hacen parte de la caracterización.
Por ejemplo, dados:
A = {1, 3, 5, 7} B = {2, 3, 4} C = { 6, 7, 8, 9}
El conjunto universal o referencial es:
U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Conjuntos Equivalentes: Son aquellos que tienen igual cardinalidad, es decir, igual número de elementos.
Un ejemplo de conjunto infinito son las estrellas del cielo. Los conjuntos infinitos siempre deberán determinarse por comprensión; para el ejemplo:
B = {x/x son las estrellas del universo}
Conjunto Universo: Se llama así al conjunto conformado por los miembros o elementos de todos los elementos que hacen parte de la caracterización.
Por ejemplo, dados:
A = {1, 3, 5, 7} B = {2, 3, 4} C = { 6, 7, 8, 9}
El conjunto universal o referencial es:
U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Conjuntos Equivalentes: Son aquellos que tienen igual cardinalidad, es decir, igual número de elementos.
Los conjuntos T y P son equivalentes porque
tienen la misma cardinalidad.
Conjuntos Iguales: Son todos aquellos conjuntos que tienen elementos iguales. Los elementos de un conjunto también pertenecen al mismo conjunto.
Ejemplo:
Conjuntos Iguales: Son todos aquellos conjuntos que tienen elementos iguales. Los elementos de un conjunto también pertenecen al mismo conjunto.
Ejemplo:
operaciones entre conjuntos
Unión
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B . Esto es:
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B . Esto es:
Intersección
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩ B. Esto es:
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩ B. Esto es:
Complemento
El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como 'A . Esto es:
El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como 'A . Esto es:
Diferencia
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B . Esto es:
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B . Esto es:
Diferencia Simétrica
La diferencia simétrica de dos conjuntos es otro conjunto que contiene a todos los elementos de ambos conjuntos sin tener en cuenta su intersección Sean A y B dos conjuntos. Se denomina diferencia simétrica entre A y B a:
La diferencia simétrica de dos conjuntos es otro conjunto que contiene a todos los elementos de ambos conjuntos sin tener en cuenta su intersección Sean A y B dos conjuntos. Se denomina diferencia simétrica entre A y B a: